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為什麼統計的樣本標準差計算要除(n-1)而母體標準差則除n？
相信這也是許多人的疑問，為什麼統計學在計算母體標準差與樣本標準差的時候要分別除以n與(n-1)呢？
一般人大概可以理解母體標準差除以n的道理，因為總共有n筆資料。
那為什麼計算樣本標準差時就要把分母減去1，就是除以(n-1)呢？
工作熊知道自己的回答無法讓所有的人滿意，但在你質疑工作熊之前請先讀完整篇文章好嘛！
在回答這個問題之前，工作熊要先請大家想想看，當同一數值同時除以n及(n-1)時，除以(n-1)所得出來的數值是否會比較大？答案是肯定的，因為樣本的標準差是總體標準差的估計值（你問工作熊為什麼是「估計值」…？因為是「抽樣」的關係啊。比如說全校學生共有500人，抽樣50人，取身高來代表全校學生的身高，也就是用50人的身高來推估500人的身高，雖然50個人可以大致代表全校學生，但究竟還是跟實際計算500人的身高數值會稍有不同，也就是說兩者不會一模一樣）。
由樣本計算出來的標準差終究不是整體實際的標準差，也就是說樣本標準差是個不確定的數值，也就是說它是一個估計值。一般來說一位嚴謹的工程人員在估計數值的時候總是比較偏向保守，尤其事關安全時，當他無法準確的計算出一個數值時，就寧願讓數值偏向較差的方向，也就是故意將樣本標準差的值高估於總體標準差，以取得保險，免得到時出錯造成損失。於是，將之除以一個較小的分母(n-1)就可以讓我們做到這一點。標準差越大表示製程能力越差，除以(n-1)會讓數值變大。
其實，如果樣本的數量越大時，那麼除以n和除以(n-1)的差異將會越趨於一致。換句話說，其所引起的「量變」就不會太大，但是它們卻有著「有偏估計」與「無偏估計」的「質變」。所以，一般我們在計算樣本標準差時總會要求數據量至少要大於25個，或大於30個，數據當然要越多越好，只是為了取得實用與經濟的平衡點而不得不取一個建議的數量。因此，樣本標準差公式取的是除以(n-1)，只有當它除以(n-1)時，得出的結果才會是「無偏估計」。
以上所言，基本上是講給不想燒腦的人看的，因為這樣比較好解釋為何要樣本標準差要除以(n-1)，但是學統計的人應該不會認同以上論調，所以…
對於為何要樣本標準差要除以(n-1)？比較正規的要用「自由度(Degree of Freedom)」的觀念來解釋為何要除以(n-1)，但這個其實比較抽象，大概很多人會看不懂，工作熊自己有時候也看不是很懂啦！
由於母體的每個資料都是一個可以自由變動的獨立資料，所以自由度取n沒有問題。但是，當使用樣本來推估母體時，必須符合「無偏推估性」，因為樣本平均值x̄(X-bar)基本上已經可以從抽樣的n筆資料中先被計算出來，故只要知道(n-1)筆抽樣資料，剩下的那一筆資料，其實可經由與x̄(X-bar)計算推導出來，這一筆資料就變成被限制住，成了喪失自由度的資料，所以自由度就變成(n-1)。大概是這樣，其實工作熊自己也沒弄懂多少就是了。
對自由度有興趣的朋友可以參考下面兩份網路資料，不過不一定看得懂就是了：
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從標準差除以n或除以n-1談起（丁村成） pdf檔
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淺談自由度(樣本標準差公式中的分母微什麼要採用n-1)（江振東）Word檔 (連結佚失)
後記：
如果你是對統計有很深入了解的朋友，你應該不需要來看工作熊在這裡扯爛，在你批評前，如你果有能力不要用一堆公式來證明為何要除以(n-1)，講得淺顯易懂，工作熊服你，也歡迎大家一起來講古～但記得先看完文章。
延伸閱讀：
柏拉圖分析 (Pareto Chart)介紹
如何使用Excel2007製作柏拉圖(Pareto chart)
標準差與常態分佈的關係(six sigma)
製程能力介紹 ─ Cpk之製程能力解釋
六個標準差(six sigma)運用於日常生活
如何使用Excel2007建立常態分布曲線圖表
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訪客留言內容（Comments）
他裡面寫的 Degree of freedom造成n-1基本上已經回答了問題，而背後牽涉的統計理論則跟Bessel’s correction有關。
如果還有更多的疑問可以參閱以下網站：
blog.udn.com/mobile/nilnimest/92412101
剛剛查閱了你‘毛遂自薦’的網站並沒有看到更加詳細的解釋，自謙者人重之，加油
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如果樣本標準差是為了保守才在分母少一，為何不少二或少三？這論證明顯有瑕疵；而後半段的自由度觀點，雖然是對的，但對於工程背景的人而言仍舊過於抽象。
比較容易理解的方式是，母體標準差是最大似然估計的結果，樣本標準差則是最佳無偏估計的結果。
詳細的推導可以參考以下兩篇文章：
母體標準差 https:// hsiehminhua.pixnet.net/blog/post/1897588
樣本標準差 https:// hsiehminhua.pixnet.net/blog/post/1903873