為什麼統計的樣本標準差計算要除(n-1)而母體標準差則除n?

為什麼統計樣本標準差除(n-1)而母體標準差則除n?

相信這也是許多人的疑問,為什麼統計學在計算母體標準差樣本標準差的時候要分別除以n與(n-1)呢?

一般人大概可以理解母體標準差除以n的道理,因為總共有n筆資料。

那為什麼計算樣本標準差時就要把分母減去1,就是除以(n-1)呢?

工作熊知道自己的回答無法讓所有的人滿意,但在你質疑工作熊之前請先讀完整篇文章好嘛!

在回答這個問題之前,工作熊要先請大家想想看,當同一數值同時除以n及(n-1)時,除以(n-1)所得出來的數值是否會比較大?答案是肯定的,因為樣本的標準差是總體標準差的估計值(你問工作熊為什麼是「估計值」…?因為是「抽樣」的關係啊。比如說全校學生共有500人,抽樣50人,取身高來代表全校學生的身高,也就是用50人的身高來推估500人的身高,雖然50個人可以大致代表全校學生,但究竟還是跟實際計算500人的身高數值會稍有不同,也就是說兩者不會一模一樣)。







由樣本計算出來的標準差終究不是整體實際的標準差,也就是說樣本標準差是個不確定的數值,也就是說它是一個估計值。一般來說一位嚴謹的工程人員在估計數值的時候總是比較偏向保守,尤其事關安全時,當他無法準確的計算出一個數值時,就寧願讓數值偏向較差的方向,也就是故意將樣本標準差的值高估於總體標準差,以取得保險,免得到時出錯造成損失。於是,將之除以一個較小的分母(n-1)就可以讓我們做到這一點。標準差越大表示製程能力越差,除以(n-1)會讓數值變大。

其實,如果樣本的數量越大時,那麼除以n和除以(n-1)的差異將會越趨於一致。換句話說,其所引起的「量變」就不會太大,但是它們卻有著「有偏估計」與「無偏估計」的「質變」。所以,一般我們在計算樣本標準差時總會要求數據量至少要大於25個,或大於30個,數據當然要越多越好,只是為了取得實用與經濟的平衡點而不得不取一個建議的數量。因此,樣本標準差公式取的是除以(n-1),只有當它除以(n-1)時,得出的結果才會是「無偏估計」。

另外,我們還可以使用「自由度」(Degree of Freedom)來解釋為何要除以(n-1),但這個比較抽象,大概很多人會看不懂,工作熊也看不是很懂啦!由於母體的每個資料都是一個可以自由變動的獨立資料,所以自由度取n沒有問題。但是,當使用樣本來推估母體時,必須符合「無偏推估性」,因為樣本平均值(X-bar)基本上已經可以從抽樣的n筆資料中先被計算出來,故只要知道(n-1)筆抽樣資料,剩下的那一筆資料,其實可經由與(X-bar)計算推導而來,這一筆資料就變成被限制住,成了喪失自由度的資料,所以自由度就變成(n-1)。大概是這樣,其實工作熊自己也沒弄懂多少就是了。

有興趣的可以參考下面兩份資料,不過不一定看得懂就是了:

後記:

如果你對統計有很深入了解朋友,你應該不需要來看工作熊在這裡扯爛,你如果有能力不要用一堆公式來證明為何要除以(n-1),講得淺顯易懂,工作熊服你,也歡迎大家一起來講古~但記得先看完文章。


回》SPC、Cpk、製程能力之解說與整理

延伸閱讀:
柏拉圖分析 (Pareto Chart)介紹
如何使用Excel2007製作柏拉圖(Pareto chart)

標準差與常態分佈的關係(six sigma)
製程能力介紹 ─ Cpk之製程能力解釋
六個標準差(six sigma)運用於日常生活
如何使用Excel2007建立常態分布曲線圖表

 
 
訪客留言內容(Comments)

如果樣本標準差是為了保守才在分母少一,為何不少二或少三?這論證明顯有瑕疵;而後半段的自由度觀點,雖然是對的,但對於工程背景的人而言仍舊過於抽象。

比較容易理解的方式是,母體標準差是最大似然估計的結果,樣本標準差則是最佳無偏估計的結果。

詳細的推導可以參考以下兩篇文章:
母體標準差 https:// hsiehminhua.pixnet.net/blog/post/1897588
樣本標準差 https:// hsiehminhua.pixnet.net/blog/post/1903873

他裡面寫的 Degree of freedom造成n-1基本上已經回答了問題,而背後牽涉的統計理論則跟Bessel’s correction有關。
如果還有更多的疑問可以參閱以下網站:
blog.udn.com/mobile/nilnimest/92412101

剛剛查閱了你‘毛遂自薦’的網站並沒有看到更加詳細的解釋,自謙者人重之,加油

樣本標準差則是計算樣本資料它們之間的
標準差吧?所以除從資料量減一也就是(n-1)?😅


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