管制圖Cpk、Cp與Ppk、Pp的計算實例演練

工作熊在前一篇文章雖然有提到說Cpk與Ppk的差異在哪裡,也稍微說明了如何計算其各自的標準差,但還是有很多朋友不是很了解真正該如何計算出管制圖的Cpk與Ppk,所以工作熊找了一個例子來根大家好好實際演練一下如何計算管制圖中的Cp、Cpk與Pk、Ppk

假設有一個尺寸規格為0.3+/-0.15mm,從生產線上分五個時段分別隨機各抽取20個樣品量測數據如下表(資料內容可能稍有誤差,所以計算出來的數值與上圖的結果稍有差異,不過整體來說表格的資料還是用的),請分別計算其管制圖的Cp、Cpk、σ(推估標準差)與Pk、Ppk、S(總體標準差):







No. Dim(mm) No. Dim(mm) no. Dim(mm) No. Dim(mm) No. Dim(mm)
1 0.245 21 0.307 41 0.248 61 0.262 81 0.253
2 0.248 22 0.258 42 0.340 62 0.260 82 0.271
3 0.282 23 0.172 43 0.239 63 0.303 83 0.261
4 0.204 24 0.268 44 0.241 64 0.312 84 0.287
5 0.287 25 0.220 45 0.303 65 0.291 85 0.244
6 0.310 26 0.221 46 0.329 66 0.265 86 0.293
7 0.205 27 0.334 47 0.286 67 0.291 87 0.306
8 0.325 28 0.219 48 0.310 68 0.261 88 0.311
9 0.265 29 0.293 49 0.270 69 0.270 89 0.237
10 0.252 30 0.254 50 0.262 70 0.321 90 0.257
11 0.246 31 0.298 51 0.318 71 0.270 91 0.297
12 0.298 32 0.286 52 0.289 72 0.294 92 0.305
13 0.272 33 0.229 53 0.244 73 0.259 93 0.260
14 0.242 34 0.286 54 0.282 74 0.301 94 0.311
15 0.283 35 0.251 55 0.243 75 0.211 95 0.237
16 0.287 36 0.336 56 0.210 76 0.251 96 0.210
17 0.298 37 0.271 57 0.314 77 0.246 97 0.293
18 0.262 38 0.283 58 0.310 78 0.276 98 0.190
19 0.213 39 0.228 59 0.261 79 0.238 99 0.300
20 0.267 40 0.279 60 0.243 80 0.275 100 0.257

(※請注意:計算式使用Excel表格來計算,如果你不是使用Excel計算,而取用的小數點不一樣會造成計算結果的些許差異

計算管制圖的Cp、Cpk、σ(推估標準差)

依據經驗法則,因為每組數據超過10個資料,所以管制圖採用【-σ chart】。如果每組資料小於10個,則採用【-R chart】。

依據公式必須先計算各組內(5組)的標準差(s),計算公式使用Excel的STDEV()函數就可以得到了,分別得到五組數據的組內標準差(s)為:0.033415、0.041448、0.036149、0.026759、0.034414。

接著,計算 標準差平均值(s-bar)=0.034437
(這個s-bar平均值使用Excel表格計算出來的,如果使用計算機來計算,其結果會因為取用的小數點不同而會有些微的差異。)

所以,σ(推估標準差)=(s-bar)/C4=0.034437/0.9869=0.034894

(查表可得,n=20,C4=0.9869)

使用Excel的AVERAGE()函數計算 平均值()= 0.26962

所以,

Cp = (USU-LSL)/6σ = (0.45-0.15)/(6×0.034894) = 1.4330

Ca = Ck = (M-)/(T/2) = (0.3-0.26962)/0.15 = 0.2025

所以,Cpk = (1-Ca) x Cp = (1-0.2025)x1.433 = 1.1427

計算管制圖的Pp、Ppk、S(總體標準差)

因為 Pp與Ppk就是計算總體的品質標準差(S),所以其計算就很簡單,也不需要再查表了,就直接使用Excel的STDEV()與AVERAGE()直接計算全部數值就可以了。

所以,總體的標準差(S) = 0.0343972;總體的平均值(x̄)= 0.26963

Pp = (USU-LSL)/6S = (0.45-0.15)/(6×0.0343972) = 1.4537

Ca = Ck = (M-)/(T/2) = (0.3-0.26963)/0.15 = 0.2025

Ppk = (1-Ca) x Pp = (1-0.2025) x 1.4537 = 1.1593

如果大家多計算幾個類似的例子,就會發現一個有趣的現象,那就是Ppk值幾乎永遠都大於Cpk值,這是因為組間標準差會比總體標準差來得大的關係(σ > S),使得 Pp > Cp,於是 Ppk > Cpk。

另外,如果你還記得母體標準差與樣本標準差的差異就在母體表準差除以n,而樣本標準差則除以(n-1),所以樣本標準差會比母體標準差大。知道為什麼樣本標準差要除以(n-1)嗎?後面有機會繼續談。


回》SPC、Cpk、製程能力之解說與整理

延伸閱讀:
柏拉圖分析 (Pareto Chart)介紹
標準差與常態分佈的關係(six sigma)
製程能力介紹 ─ Cpk之製程能力解釋
六個標準差(six sigma)運用於日常生活
如何使用Excel2007建立常態分布曲線圖表
如何使用Excel2007製作柏拉圖(Pareto chart)

訪客留言內容(Comments)

Process capability 圖看起來很像是日XX公司的

“Ppk值幾乎永遠都大於Cpk值” 我找到幾個資料和這說法相反,請看以下連結,http://sixsigmastudyguide.com/process-capability-cp-cpk/

In theory Cpk will always be greater than or equal to Ppk. There are anomalies seen when the sample size is small and the data represents a short amount of time where estimating using R will overstate standard deviation and make Cpk smaller than Ppk.

而且你可以看以下連結中的minitab計算的實例,Cpk也是大於Ppk
http://blog.minitab.com/blog/michelle-paret/process-capability-statistics-cpk-vs-ppk

這是因為樣本大小不同造成的嗎??

再麻煩你開釋了,謝謝

Chen,
謝謝您的資訊,有空會找個時間研讀研究一下。

對於 Chen 的留言
我的想法是
因為定義來說ppk是看overall變異 所以理論上的確
overall >= within
所以 Cpk >= Ppk
但是當製程趨於穩定時
overall ≒ within
Cpk ≒ Ppk
又因為有抽樣誤差 因此有可能 Cpk < Ppk
不知道這樣對不對@@

你好!
首先謝謝你的文章,個人受益良多!謝謝
小弟對這篇文章有一行計算”標準差平均值(s-bar)=0.034436″感到疑惑
這5組標準差(0.0334、0.0414、0.0361、0.0268、0.0344)不應該是”0.03442″嗎? 文章中0.034436是如何計算出呢?

Wang,
這個s-bar平均值使用Excel表格計算出來的,如果使用計算機來計算,其結果會因為取用的小數點不同而會有些微的差異。

我想,不管是cpk , ppk 式子裏頭的未知參數都用相對之估計式取代,
然估計式可以試點估計或區間估計法,是故
CPK, PPK 應以其區間估計值(信賴區間)來看待(考量抽樣誤差)而非僅單一數值。

理論上還是 CPK>= PPK

你的計算是對的。
但最後的結論是不符合一般狀況的,其實一般都是Cpk>=Ppk

因為總體標準差=組內標準差+組間標準差

Cpk只有考慮組內標準差,所以Cpk會比較好看。

你會有這個結論是因為文中的範例太特殊,
這個範例中,組內標準差太大,而組間差異幾乎等於0,才會導致Ppk>Cpk的特殊結果。
我猜你是用亂數產生器去跑100個數字,然後分成5組,所以數據才會長這個樣子。


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