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管制圖Cpk、Cp與Ppk、Pp的計算實例演練
工作熊在前一篇文章雖然有提到說Cpk與Ppk的差異在哪裡，也稍微說明了如何計算其各自的標準差，但還是有很多朋友不是很了解真正該如何計算出管制圖的Cpk與Ppk，所以工作熊找了一個例子來跟大家好好實際演練一下如何計算管制圖中的Cp、Cpk與Pk、Ppk！
假設有一個尺寸規格為0.3+/-0.15mm，從生產線上分五個時段分別隨機各抽取20個樣品量測數據如下表（資料內容可能稍有誤差，所以計算出來的數值與上圖的結果稍有差異，不過整體來說表格的資料還是有用的），請分別計算其管制圖的Cp、Cpk、σ(推估標準差)與Pk、Ppk、S(總體標準差)：
| No. | Dim(mm) | No. | Dim(mm) | no. | Dim(mm) | No. | Dim(mm) | No. | Dim(mm) |
| 1 | 0.245 | 21 | 0.307 | 41 | 0.248 | 61 | 0.262 | 81 | 0.253 |
| 2 | 0.248 | 22 | 0.258 | 42 | 0.340 | 62 | 0.260 | 82 | 0.271 |
| 3 | 0.282 | 23 | 0.172 | 43 | 0.239 | 63 | 0.303 | 83 | 0.261 |
| 4 | 0.204 | 24 | 0.268 | 44 | 0.241 | 64 | 0.312 | 84 | 0.287 |
| 5 | 0.287 | 25 | 0.220 | 45 | 0.303 | 65 | 0.291 | 85 | 0.244 |
| 6 | 0.310 | 26 | 0.221 | 46 | 0.329 | 66 | 0.265 | 86 | 0.293 |
| 7 | 0.205 | 27 | 0.334 | 47 | 0.286 | 67 | 0.291 | 87 | 0.306 |
| 8 | 0.325 | 28 | 0.219 | 48 | 0.310 | 68 | 0.261 | 88 | 0.311 |
| 9 | 0.265 | 29 | 0.293 | 49 | 0.270 | 69 | 0.270 | 89 | 0.237 |
| 10 | 0.252 | 30 | 0.254 | 50 | 0.262 | 70 | 0.321 | 90 | 0.257 |
| 11 | 0.246 | 31 | 0.298 | 51 | 0.318 | 71 | 0.270 | 91 | 0.297 |
| 12 | 0.298 | 32 | 0.286 | 52 | 0.289 | 72 | 0.294 | 92 | 0.305 |
| 13 | 0.272 | 33 | 0.229 | 53 | 0.244 | 73 | 0.259 | 93 | 0.260 |
| 14 | 0.242 | 34 | 0.286 | 54 | 0.282 | 74 | 0.301 | 94 | 0.311 |
| 15 | 0.283 | 35 | 0.251 | 55 | 0.243 | 75 | 0.211 | 95 | 0.237 |
| 16 | 0.287 | 36 | 0.336 | 56 | 0.210 | 76 | 0.251 | 96 | 0.210 |
| 17 | 0.298 | 37 | 0.271 | 57 | 0.314 | 77 | 0.246 | 97 | 0.293 |
| 18 | 0.262 | 38 | 0.283 | 58 | 0.310 | 78 | 0.276 | 98 | 0.190 |
| 19 | 0.213 | 39 | 0.228 | 59 | 0.261 | 79 | 0.238 | 99 | 0.300 |
| 20 | 0.267 | 40 | 0.279 | 60 | 0.243 | 80 | 0.275 | 100 | 0.257 |
（※請注意：計算式使用Excel表格來計算，如果你不是使用Excel計算，而取用的小數點不一樣會造成計算結果的些許差異）
計算管制圖的Cp、Cpk、σ(推估標準差)
依據經驗法則，因為每組數據超過10個資料，所以管制圖採用【x̄-σ chart】。如果每組資料小於10個，則採用【x̄-R chart】。
依據公式必須先計算各組內（5組）的標準差(s)，計算公式使用Excel的STDEV()函數或是STDEV.S()就可以得到樣本標準差了，分別得到五組數據的組內標準差(s)為：0.033415、0.041448、0.036149、0.026759、0.034414。
接著，計算 標準差平均值(s-bar)=0.034437
（這個s-bar平均值使用Excel表格計算出來的，如果使用計算機來計算，其結果會因為取用的小數點不同而會有些微的差異。）所以，σ(推估標準差)=(s-bar)/C4=0.034437/0.9869=0.034894
（查表可得，n=20，C4=0.9869）
使用Excel的AVERAGE()函數計算100個數值的 平均值(x̄)= 0.26963
所以，
Cp = (USU-LSL)/6σ = (0.45-0.15) / (6×0.034894) = 1.4330
Ca = Ck = (M-x̄)/(T/2) = (0.3-0.26963) / 0.15 = 0.2025
所以，Cpk = (1-Ca) x Cp = (1-0.2025) x 1.433 = 1.1427
計算管制圖的Pp、Ppk、S(總體標準差)
因為Pp與Ppk就是計算總體的品質標準差(S)，所以其計算就很簡單，也不需要再查表了，就直接使用Excel的STDEV()與AVERAGE()直接計算全部數值就可以了。
所以，總體的標準差(S) = 0.0343972；總體的平均值(x̄)= 0.26963
Pp = (USU-LSL)/6S = (0.45-0.15)/(6×0.0343972) = 1.4537
Ca = Ck = (M-x̄)/(T/2) = (0.3-0.26963)/0.15 = 0.2025
Ppk = (1-Ca) x Pp = (1-0.2025) x 1.4537 = 1.1593
如果大家多計算幾個類似的例子，就會發現一個有趣的現象，那就是Ppk值幾乎永遠都大於Cpk值，這是因為組間標準差會比總體標準差來得大的關係（σ > S），使得 Pp > Cp，於是 Ppk > Cpk。
另外，如果你還記得母體標準差與樣本標準差的差異就在母體表準差除以n，而樣本標準差則除以(n-1)，所以樣本標準差會比母體標準差大。知道為什麼樣本標準差要除以(n-1)嗎？後面有機會繼續談。
建議延伸閱讀：
為什麼統計的樣本標準差計算要除(n-1)而母體標準差則除n？
延伸閱讀：
柏拉圖分析 (Pareto Chart)介紹
標準差與常態分佈的關係(six sigma)
製程能力介紹 ─ Cpk之製程能力解釋
六個標準差(six sigma)運用於日常生活
如何使用Excel2007建立常態分布曲線圖表
如何使用Excel2007製作柏拉圖(Pareto chart)
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訪客留言內容（Comments）
“Ppk值幾乎永遠都大於Cpk值” 我找到幾個資料和這說法相反，請看以下連結，http://sixsigmastudyguide.com/process-capability-cp-cpk/
In theory Cpk will always be greater than or equal to Ppk. There are anomalies seen when the sample size is small and the data represents a short amount of time where estimating using R will overstate standard deviation and make Cpk smaller than Ppk.
而且你可以看以下連結中的minitab計算的實例，Cpk也是大於Ppk
http://blog.minitab.com/blog/michelle-paret/process-capability-statistics-cpk-vs-ppk
這是因為樣本大小不同造成的嗎??
再麻煩你開釋了，謝謝
對於 Chen 的留言
我的想法是
因為定義來說ppk是看overall變異 所以理論上的確
overall >= within
所以 Cpk >= Ppk
但是當製程趨於穩定時
overall ≒ within
Cpk ≒ Ppk
又因為有抽樣誤差 因此有可能 Cpk < Ppk
不知道這樣對不對@@
你好!
首先謝謝你的文章,個人受益良多!謝謝
小弟對這篇文章有一行計算”標準差平均值(s-bar)=0.034436″感到疑惑
這5組標準差(0.0334、0.0414、0.0361、0.0268、0.0344)不應該是”0.03442″嗎? 文章中0.034436是如何計算出呢?
我想，不管是cpk , ppk 式子裏頭的未知參數都用相對之估計式取代，
然估計式可以試點估計或區間估計法，是故
CPK, PPK 應以其區間估計值(信賴區間)來看待(考量抽樣誤差)而非僅單一數值。
理論上還是 CPK>= PPK
你的計算是對的。
但最後的結論是不符合一般狀況的，其實一般都是Cpk>=Ppk
因為總體標準差=組內標準差+組間標準差
Cpk只有考慮組內標準差，所以Cpk會比較好看。
你會有這個結論是因為文中的範例太特殊，
這個範例中，組內標準差太大，而組間差異幾乎等於0，才會導致Ppk>Cpk的特殊結果。
我猜你是用亂數產生器去跑100個數字，然後分成5組，所以數據才會長這個樣子。
Cpk&Ppk的計算方式是每組5筆數據 最少需要20組共100筆數據
隨機抽樣可以透過瞬時法(每整點站在機台旁邊 拿取連續5組產品)
也可以透過分段抽樣法(每12分鐘固定去機台旁邊拿一個產品)
20組數據會產生20筆的組內變異 該變異會反應在Cpk的分母
計算方式可以透過20筆數據的全距R再平均 除以d2進行修正得到估計的樣本標準差
20組數據會產生1筆總變異 該變異會反應在Ppk的分母
計算方式可以透過100筆數據直接算S標準差公式 得到100數據的樣本標準差
「Ppk值幾乎永遠都大於Cpk值」這句話是錯誤的 因為你計算算錯組數才會得到這個錯誤的結論
由於 總變異 = 組內變異 + 組間變異
Ppk的分母因為是總變異所以分母比較大 Cpk的分母是組內變異所以分母比較小
這會使得Ppk <= Cpk
上面的所有討論幾乎都是錯誤的 因此我特別po文澄清
有關於Cpk/Ppk的討論 可以參考我這篇文章
【品質工程】從IATF16949車用五大核心工具PPAP和SPC手冊談Ppk與Cpk的差異
https: //j401f2gmail.blogspot.com/2018/04/ppapspcppkcpk.html
標準差平均值(s-bar)=0.034437
使用Excel的AVERAGE()函數計算 平均值(x̄)= 0.26962
我求出5組平均是0.034437嗎?
那想請問平均值(x̄)= 0.26962.是如何求出的?
謝謝
我認同: Jeff on 2018/07/30 的說法還有他的blog
https://jeffonquality.com/page/14/
Cpk與Ppk其實是一組互相評估的指標，應該被擺在一起使用，而非區分哪個好哪個差，哪個一定比較大,而是找出製程與取樣方式如何影響組內變異、組間變異與整體變異。你的subroup 2 (n=20) 單獨的Cpk=0.949, subroup 4 (n=20) 單獨的Cpk=1.47。將這五個組內correlation不高的當作valid data是有問題的….。就算五個組的統計平均 Cpk=1.1427 是無效的。因為組間與組間的noise (common or special cause)就過大。將這五個組統計Cpk在與整體的PpK比較也就沒有意義。
“Cpk只衡量組內變異，並不包括組間變異；Ppk則是績效指標：Ppk衡量全部的變異，包含組間變異以及組內變異” 這會使得Ppk <= Cpk
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